Юрий Чурсин завершил обучение в Театральном училище имени Б. Щукина в 2001 году под руководством Ю. Шлыкова. После этого он присоединился к труппе Театра имени Евгения Вахтангова, где исполнил роли в таких постановках, как «Ночь игуаны» по пьесе Теннесси Уильямса (персонаж Панчо), «Король-олень» Карло Гоцци (Леандро), «За двумя зайцами» Михаила Старицкого (Будочник), «Лир» Уильяма Шекспира (Эдгар), «Отелло» того же автора (Родриго) и «Ревизор» Николая Гоголя (Ляпкин-Тяпкин), а также других.
В 2004 году Чурсин дебютировал на сцене Московского Художественного театра в спектакле «Лес». Через год он стал полноправным членом труппы МХТ, где оставался до 2014 года.
За это время он сыграл Буланова в «Лесе» Александра Островского под режиссурой Кирилла Серебренникова (2004), Треплева в «Чайке» Антона Чехова под вводом Олега Ефремова, Петеньку в постановке «Господа Головлёвы» Михаила Салтыкова-Щедрина (режиссер К. Серебренников, 2005), Лео в комедии Кена Людвига «Примадонны» (режиссер Е. Писарев, 2006), Ариэла в пьесе Мартина МакДонаха «Человек-подушка» (К. Серебренников, 2007), Джингля в адаптации романа Чарльза Диккенса «Пиквикский клуб» (Е. Писарев, 2009) и Мишу Мышкина в авторской постановке Ренаты Литвиновой «Звезда вашего периода» (2021).
Помимо этого, Юрий выступал на сцене Театра имени А. С. Пушкина, где воплотил образ Виктора в спектакле по пьесе Марка Равенхилла «Откровенные полароидные снимки», режиссированном К. Серебренниковым.
В Московском театре под руководством Олега Табакова он сыграл Иволгина в инсценировке романа Федора Достоевского «Идиот», поставленной Алексеем Мариным, а также Бусыгина в произведении Александра Вампилова «Старший сын», поставленном Константином Богомоловым.
Обычно мы присылаем одно письмо в месяц и ещё одно накануне больших праздников